在微分几何中，曲率是描述曲线弯曲程度的重要概念。在平面上，对于参数化曲线，曲率的公式可以通过不同的方式表示。在极坐标系统中，由于其与直角坐标系统的不同，因此曲率的表达式也有所不同。
极坐标系通过极径 ( r ) 和极角 ( \theta ) 来描述平面上的点。具体地，平面上的一个点 ( P ) 可以用下列两个变量表示：
在极坐标中，曲线的表示通常为 ( r = r(\theta) )。
在直角坐标系中，曲率可以通过以下公式计算：
[ \kappa = \frac{|y''(x)|}{(1 + (y'(x))^2)^{3/2}} ]
然而，在极坐标中，曲率的计算需要稍微修改。假设给定一条曲线在极坐标下的表达式为 ( r = r(\theta) )，那么该曲线的曲率公式为：
[ \kappa = \frac{|r^2 + 2(r')^2 - r r''|}{(r^2 + (r')^2)^{3/2}} ]
其中，( r' ) 和 ( r'' ) 分别表示 ( r(\theta) ) 对 ( \theta ) 的一阶和二阶导数。
为了更好地理解上述公式，我们先从极坐标下的曲线参数化出发，推导曲率公式。假设曲线的参数方程为：
对 ( x ) 和 ( y ) 关于 ( \theta ) 求导数：
[ \frac{dx}{d\theta} = r'(\theta) \cos \theta - r(\theta) \sin \theta ]
[ \frac{dy}{d\theta} = r'(\theta) \sin \theta + r(\theta) \cos \theta ]
接着，继续对 ( \frac{dx}{d\theta} ) 和 ( \frac{dy}{d\theta} ) 求导数：
[ \frac{d^2x}{d\theta^2} = r''(\theta) \cos \theta - 2r'(\theta) \sin \theta - r(\theta) \cos \theta ]
[ \frac{d^2y}{d\theta^2} = r''(\theta) \sin \theta + 2r'(\theta) \cos \theta - r(\theta) \sin \theta ]
在直角坐标系中，曲率 ( \kappa ) 的公式为：
[ \kappa = \frac{|x'y'' - y'x''|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} ]
将 ( x ) 和 ( y ) 的一阶和二阶导数代入此公式，经过化简后，得到极坐标下的曲率公式：
[ \kappa = \frac{|r^2 + 2(r')^2 - r r''|}{(r^2 + (r')^2)^{3/2}} ]
在极坐标系下，曲率公式与直角坐标系下的公式不同。极坐标中的曲率公式涉及到曲线在极坐标系下的导数，并且其计算需要考虑曲线的曲率与极径和极角之间的关系。这个公式对于许多涉及极坐标系的应用，尤其是在物理学和工程学中，具有重要的实际意义。