在三角学中，二倍角公式是角度倍增的一种重要数学工具，它可以将某个角度的三角函数表示为该角度的一倍角的三角函数的组合。二倍角公式在物理学、工程学以及数学分析中具有广泛的应用。
设 ( \theta ) 为一个任意角度，我们需要推导出 ( \sin(2\theta) )、( \cos(2\theta) ) 和 ( \tan(2\theta) ) 的表达式。
利用和角公式，首先考虑 ( \sin(a + b) ) 的公式： [ \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) ] 设 ( a = b = \theta )，得到： [ \sin(2\theta) = \sin(\theta + \theta) = \sin(\theta)\cos(\theta) + \cos(\theta)\sin(\theta) ] 因此，得出二倍角公式： [ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) ]
同样利用和角公式 ( \cos(a + b) )，有： [ \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) ] 设 ( a = b = \theta )，得到： [ \cos(2\theta) = \cos(\theta + \theta) = \cos(\theta)\cos(\theta) - \sin(\theta)\sin(\theta) ] 即： [ \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) ] 这个公式就是常见的二倍角公式之一。
根据正切函数的定义，( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} )，我们推导 ( \tan(2\theta) )。
利用和角公式： [ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} ] 设 ( a = b = \theta )，得到： [ \tan(2\theta) = \frac{\tan(\theta) + \tan(\theta)}{1 - \tan(\theta)\tan(\theta)} ] 即： [ \tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} ]
经过上述推导，我们得到三种常见的二倍角公式： [ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) ] [ \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) ] [ \tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} ] 这些公式不仅在数学分析中起着重要作用，而且在实际问题中也有广泛的应用。